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Fibonacci


Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa.

Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
"Cuando mi padre, que había sido nombrado por su país como notario público en la aduana de Bugía actuando para los mercaderes pisanos que allí iban, estaba en el cargo, me convocó a su lado mientras yo era aún un niño, y con la vista puesta en la utilidad y la comodidad futura, quiso que permaneciese allí y recibiese instrucción en la escuela de contabilidad. Allí, cuando había sido introducido en el arte de los nueve símbolos indios a través de una admirable educación, el conocimiento del arte muy pronto me satisfizo sobre todo lo demás y llegué a comprenderlo, por que cualquier cosa era estudiada por el arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variadas formas."
En Pisa, escribió un número de importantes textos que jugaron un importante papel en el despertar de las antiguas habilidades matemáticas e hizo contribuciones significativas propias. Fibonacci vivió en los días anteriores a la imprenta, por lo que sus libros fueron manuscritos y la única forma de conseguir una copia de uno de ellos era tener hecha otra copia manuscrita. De sus libros aún tenemos copias del Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), y el Liber quadratorum. Dadas las relativamente pocas copias manuscritas que se habrían producido, somos afortunados de tener acceso a sus escritos en estas obras. Sin embargo, sabemos que escribió algunos otros textos, que , desafortunadamente, están perdidos. Su libro de aritmética comercial Di minor guisa se ha perdido al igual que su comentario sobre el Libro X de los Elementos de Euclides que contenía un tratamiento numérico de los números irracionales1 a los que Euclides se había aproximado desde un punto de vista geométrico.

Uno puede haber pensado que en una época en la que Europa estaba poco interesada en la erudición, Fibonacci habría sido ampliamente ignorado. Esto, sin embargo, no es así y un amplio interés en su obra sin duda contribuyó fuertemente a su importancia. Fibonacci fue contemporáneo de Jordano pero él fue un matemático bastante más sofisticado y sus logros fueron claramente reconocidos, aunque fueron las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos los que le hicieron famoso para sus coetáneos.

El emperador del Sacro Imperio Romano Germánico era Federico II. Había sido coronado Sacro Emperador Romano por el Papa en la Iglesia de San Pedro de Roma en Noviembre de 1220. Federico II apoyó a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra, y empleó los años hasta 1227 consolidando su poder en Italia. El control del estado fue introducido en el comercio y la industria, y fueron entrenados funcionarios civiles para supervisar este monopolio en la Universidad de Nápoles que Federico fundó para este propósito en 1224.

Federico tuvo noticias de la obra de Fibonacci a través de los eruditos de su corte que habían mantenido correspondencia con él desde su regreso a Pisa alrededor del 1200. Estos eruditos incluían a Michael Scotus que era el astrólogo de la corte, Theodorus Physicus el filósofo de la corte y Dominicus Hispanus que sugirió a Federico que se encontrara con Fibonacci cuando la corte de Federico se reunió en Pisa alrededor del 1225.

Johannes de Palermo, otro miembro de la corte de Federico II, presentó un conjunto de problemas como retos para el gran matemático Fibonacci. Tres de estos problemas fueron resueltos por Fibonacci y dio las soluciones en Flos que envió a Federico II. Damos más adelante algunos detalles de uno de estos problemas.

Tras 1228 sólo hay un documento conocido que se refiere a Fibonacci. Este es un decreto de la República de Pisa en 1240 en el que se otorga un salario a :

... el serio y culto Maestro Leonardo Bigollo ....

Este salario fue otorgado a Fibonacci en reconocimiento por los servicios que había prestado a la ciudad, aconsejando sobre temas de contabilidad y enseñando a los ciudadanos.

El Liber abaci, publicado en 1202 tras el regreso de Fibonacci a Italia, estaba dedicado a Scotus. El libro estaba basado en la aritmética y el álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro, que llegó a ser ampliamente copiado e imitado, presentaba el sistema decimal indo-arábigo de valor posicional y el uso de los números árabes en Europa. De hecho, aunque es principalmente un libro sobre el uso de los números árabes, que llegaron a ser conocidos como 'algorismo2', las ecuaciones lineales simultáneas también se estudian en esta obra. Ciertamente muchos de los problemas que Fibonacci considera en el Liber abaci eran similares a los aparecidos en las fuentes árabes.

La segunda sección del Liber abaci contiene una amplia colección de problemas dirigidos a los mercaderes. Están relacionados con el precio de los bienes, cómo calcular el beneficio en las transacciones, cómo convertir entre las distintas monedas en uso en los países del Mediterráneo, y problemas que tenían su origen en China.

Un problema de la tercera sección del Liber abaci condujo a la introducción de los números de Fibonacci y la secuencia de Fibonacci por la que es actualmente más recordado:
Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?
La secuencia resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en el Liber abaci). Esta secuencia, en la que cada número es la suma de los dos números precedentes, se ha probado extremadamente fructífera y aparece en muchas áreas diferentes de las matemáticas y la ciencia.

El Fibonacci Quarterly (Fibonacci trimestral) es una revista moderna dedicada al estudio de las matemáticas relacionadas con esta secuencia.

Muchos otros problemas se dan es esta tercera sección, incluyendo estos tipos, y muchos otros más:
Una araña trepa tantos pasos por un muro cada día y resbala un número fijo cada noche, cuántos días le llevará escalar el muro.
Un sabueso cuya velocidad crece aritméticamente persigue una liebre cuya velocidad también crece aritméticamente, que distancia recorrerán antes de que el sabueso atrape a la liebre.
Calcular la cantidad de dinero que dos personas tienen tras cierta cantidad de manos de cambio y el incremento y disminución proporcional son dados.
Hay también problemas que implican a los números perfectos, problemas que implican el teorema chino del resto y problemas que implican la suma de series aritméticas y geométricas.

Fibonacci trata los números como √10 en la cuarta sección, tanto con aproximaciones racionales como con construcciones geométricas.

Una segunda edición del Liber abaci fue producida por Fibonacci en 1228 con un prefacio, típico de tantas segundas ediciones de libros, declarando que ... se ha añadido nuevo material [al libro] del que el superfluo ha sido quitado...

Otro de los libros de Fibonacci es el Practica geometriae escrito en 1220 que está dedicado a Dominicus Hispanus a quien ya mencionamos anteriormente. Contiene una amplia colección de problemas de geometría organizados en ocho capítulos con teoremas basados en los Elementos y en Sobre las Divisiones de Euclides. Además de los teoremas geométricos con pruebas precisas, el libro incluye información práctica para topógrafos, incluyendo un capítulo sobre cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos similares. El capítulo final presenta lo que Fibonacci llamó sutilezas geométricas [1]:

Entre los incluidos está el cálculo de los lados del pentágono y el decágono a partir del diámetro de las circunferencias circunscrita6 e inscrita7; el cálculo inverso también se da, al igual que el de los lados a partir de las superficies. ... para completar la sección sobre triángulos equiláteros, se inscriben un cuadrado y un rectángulo en un triángulo así y sus lados son calculados algebraicamente ...

En Flos Fibonacci da una precisa aproximación a la solución de 10x + 2x2 + x3 = 20, uno de los problemas a los que fue retado a resolver por Johannes de Palermo. Este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que lo tomó del libro de álgebra de Omar Khayyam en el que se resuelve por medio de la intersección de una circunferencia y una hipérbola8. Fibonacci prueba que la solución de la ecuación no es un entero ni una fracción, ni la raíz cuadrada de una fracción. Después él continua:

Y debido a que no es posible resolver esta ecuación de ninguna otra forma de las citadas anteriormente, trabajé para reducir la solución a una aproximación.
Sin explicar sus métodos, Fibonacci da entonces la solución en notación sexagesimal9 como 1.22.7.42.33.4.40 (que está escrito en base 60, por lo que es igual a 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Esto convertido al decimal es 1.3688081075 que es correcto con nueve decimales, un logro admirable.

El Liber quadratorum, escrito en 1225, es la pieza más impresionante de la obra de Fibonacci, aunque no la obra por la que es más famoso. El nombre del libro significa el libro de los cuadrados y es un libro de la teoría de los números10 que, entre otras cosas, examina los métodos para encontrar los triples Pitagóricos. Fibonacci primero destaca que los números cuadrados11 pueden ser construidos como sumas de impares, esencialmente describiendo una construcción inductiva usando la fórmula n2 + (2n + 1) = (n + 1)2. Fibonacci escribe:
Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que obedecían al ascenso regular de los números impares. Dado que la unidad es un cuadrado y de ella se produce el primer cuadrado, a saber 1; sumando 3 a éste se hace el segundo cuadrado, a saber 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se añade un tercer número impar, a saber 5, se producirá el tercer cuadrado, a saber 9, cuya raíz es 3; y así la secuencia y serie de números cuadrados siempre crece mediante la adición regular de números impares.
Para construir los tripes Pitagóricos, Fibonacci procede como sigue:
Así cuando deseo encontrar dos cuadrados cuya adición produce un cuadrado, tomo cualquier cuadrado impar como uno de los dos y hallo el otro cuadrado por la suma de todos los números impares desde la unidad hacia arriba pero excluyendo el cuadrado impar. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos números cuadrados mencionados; el cuadrado siguiente se obtendrá por la adición de todos los números impares inferiores a 9, es decir 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un cuadrado que cuando se suma a 9 da 25, otro cuadrado.
Fibonacci también prueba muchos resultados de la teoría de números tales como:
no hay x, y tales que x2 + y2 y x2 - y2 sean ambos cuadrados.
y x4 - y4 no puede ser un cuadrado.

Definió el concepto de un congruum, un número de la forma ab(a + b)(a - b), si a + b es par, y 4 veces este si a + b es impar. Fibonacci probó que un congruum debe ser divisible por 24 y también mostró que para x, c tales que x2 + c y x2 - c sean ambos cuadrados, entonces c es un congruum. También probó que un cuadrado no puede ser un congruum.

Como se afirma en [2]:

... el Liber quadratorum por si solo clasifica a Fibonacci como el principal contribuyente a la teoría de números entre Diofanto y el matemático francés del siglo 17 Pierre de Fermat.

La influencia de Fibonacci fue más limitada de lo que uno esperaría y aparte de su papel en la propagación del uso de los números indo-arábigos y su problema del conejo, la contribución de Fibonacci a las matemáticas ha sido ampliamente pasada por alto. Como se explica en [1]:

Sólo ejercieron influencia directa aquellas partes del 'Liber abaci' y del 'Practica' que sirvieron para introducir los números y los métodos indo-arábigos y contribuyeron a dominar problemas de la vida diaria. Aquí Fibonacci se convierte en el profesor de los maestros de computación y de los topógrafos, como se aprende de la 'Summa' de Luca Pacioli ... Fibonacci fue también el maestro de los 'Cosistas', que tomaron su nombre de la palabra 'causa' que fue usada por primera vez en occidente por Fibonacci en lugar de 'res' o 'radix'. Su designación alfabética para el número general o coeficiente fue primero mejorada por Viète ...

La obra de Fibonacci en la teoría de números fue casi totalmente ignorada y virtualmente desconocida durante la edad media. Trescientos años más tarde encontramos los mismos resultados apareciendo en la obra de Maurolico.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Traductor : Francisco M. Pulido Pastor
Enlace:

Notas:
  • Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
  • La secuencia de Fibonacci es la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... generada por la regla f1 = f2 = 1 , fn+1 = fn + fn-1. Fue presentada por Fibonacci de Pisa en Liber abaci en un problema que involucraba el crecimiento de una población de conejos.
  • Un número perfecto es un entero tal que la suma de sus divisores propios es igual al número mismo. Por ejemplo, 6 y 28 son números perfectos
  • Un número racional es un número real que puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: 2/3, 0.333333..., 2
  • Se dice que un círculo está circunscrito en un triángulo u otro polígono si los vértices del polígono están sobre la circunferencia. Se dice entonces también que el polígono está inscrito en el círculo.
  • Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo.
  • Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 - by2 = 1.
  • En el sistema sexagesimal los cálculos se hacen en base 60 tal y como lo hacían los antiguos babilonios. Los rastros de la notación sexagesimal pueden verse en nuestro método para decir la hora y en el de medir ángulos.
  • La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
  • Un número cuadrado es el número de puntos que pueden acomodarse en un cuadrado: 1, 4, 9, 16, ... En general, n2.

Comentarios

  1. Anónimo11:31 p.m.

    Para mi la matemática es siempre un orgasmo seguro!!!

    Bebu

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