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La Conjetura de Poincaré

Grigori Perelman: el próximo martes podrían otorgarle la célebre medalla Fields, el Nobel de los matemáticos

Los misterios rodean un enigma centenario


NUEVA YORK.- Grisha Perelman, ¿dónde estás?
Hace tres años, un matemático ruso de nombre Grigori Perelman, conocido como Grisha, anunció en San Petersburgo que había resuelto el famoso e intratable problema matemático conocido como la "conjetura de Poincaré", sobre la naturaleza del espacio.

Después de poner unos estudios en Internet y de realizar una fugaz gira de conferencias por los Estados Unidos, Perelman desapareció en los bosques rusos en la primavera de 2003, dejándoles a los matemáticos del mundo la tarea de decidir si estaba en lo correcto.
Ahora ellos dicen que han terminado el trabajo y la evidencia circula entre los eruditos bajo la forma de tres estudios del tamaño de un libro, con cerca de 1000 páginas de matemática densa en su interior. Como resultado hay un creciente sentimiento de optimismo acerca de que finalmente se ha logrado un hito no sólo para la matemática, sino también para el pensamiento humano.

"Es realmente un gran momento para la matemática -dice Bruce Kleiner, de la Universidad de Yale, que pasó los últimos tres años tratando de explicar el trabajo de Perelman-. Podría haber ocurrido dentro de 100 años o nunca."

En un discurso pronunciado en Pekín este verano, Shing-Tung Yau, de la Universidad de Harvard, dijo que la comprensión del espacio tridimensional que resulta de la conjetura de Poincaré podría ser uno de los principales pilares de la matemática del siglo XXI. Citando al mismo Poincaré, dijo Yau: "El pensamiento es sólo un relámpago en el medio de la larga noche, pero ese relámpago lo es todo".

Pero en su momento de triunfo, Perelman no está a la vista. Es un número puesto para ganar la Medalla Fields, el Nobel de la matemática, que será entregada por la Unión Internacional de Matemáticas el próximo martes en Madrid. Pero no hay ningún indicio de dónde está Perelman.
También dejará pendiente, por ahora, el millón de dólares ofrecido por el Instituto de Matemáticas Clay, en Cambridge, para la primera prueba publicada sobre la conjetura, una de las siete preguntas pendientes para las que esa institución ofreció recompensa a principios del milenio.

Los matemáticos han estado esperando estos resultados más de un siglo, desde que el matemático francés Henri Poincaré planteó el problema en 1904. Y reconocen que quizá pasen otros cien años antes de que terminen de comprenderse por completo sus implicancias para la matemática y la física. Por ahora, dicen, es sencillamente bello, como el arte o una nueva ópera.
Dependiendo de quién la enuncie, la conjetura de Poincaré puede sonar avasallante o decepcionantemente simple. Afirma que si un lazo en un cierto tipo de espacio tridimensional puede ser deformado hasta un punto sin rasgar ni pinchar ni el lazo ni el espacio, ese espacio es equivalente a una esfera.

La conjetura es fundamental para la topología, la rama de la matemática que trabaja con las formas. Para un topólogo, una esfera, un cigarro o la cabeza de un conejo son lo mismo porque pueden deformarse hasta convertirse uno en el otro. Asimismo, una taza de café o una rosquilla son lo mismo porque tienen un agujero, pero no son equivalentes a una esfera.
En efecto, Poincaré sugirió que cualquier cosa sin agujeros tiene que ser una esfera. En el caso de dos dimensiones, como la superficie de una esfera o de una rosquilla, es fácil observar de qué hablaba Poincaré. Pero con tres dimensiones, es más difícil discenir la forma global de un objeto; no podemos ver dónde puede haber agujeros.

"No podemos dibujar imágenes en espacios 3-D", dijo el doctor John Morgan, de la Universidad de Columbia, y explicó que cuando imaginamos la superficie de una esfera o de una manzana, en realidad estamos viendo un objeto bidimensional incrustado en tres dimensiones.
Efectivamente, los astrónomos todavía discuten sobre la forma del universo, preguntándose si su topología se asemeja a la de una esfera, una baguette o algo más complicado.
La conjetura de Poincaré fue luego generalizada para cualquier número de dimensiones, pero la versión tridimensional ha sido la más difícil de probar.

Un rayo en la oscuridad
El primer trabajo del doctor Perelman, prometiendo "un bosquejo de una prueba ecléctica", surgió como un rayo en la oscuridad cuando fue subido a Internet en noviembre de 2002. "Nadie sabía que él estaba trabajando en la conjetura de Poincaré", dijo Michael T. Anderson, de la Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook.

Perelman ya era conocido como un experto en geometría diferencial, el estudio de las curvas y las superficies que es esencial para, entre otras cosas, la relatividad y la teoría de cuerdas. Nacido en 1966, ya en la escuela secundaria fue distinguido con la medalla de oro -obtenida con un puntaje perfecto- en las Olimpíadas Matemáticas Internacionales de 1982. Luego de obtener su doctorado en la Universidad Estatal de San Petersburgo, ingresó en el Instituto Steklov de Matemática de esa ciudad.

Mientras cumplía una serie de becas posdoctorales en los Estados Unidos a principios de los noventa, Perelman impresionó a sus colegas como una "persona indescriptible", en palabras del doctor Greene, de la Universidad de California en Los Angeles: amistoso, pero tímido y desinteresado por las riquezas materiales.

"Parecía Rasputín, con el pelo y las uñas largas", dijo el doctor Green. En cuanto a los gustos de Perelman, el doctor Anderson dijo que hablaba mucho sobre sus caminatas por los bosques cercanos a San Petersburgo en busca de hongos.

Perelman volvió a esos bosques y al Instituto Steklov en 1995, después de rechazar ofertas de las universidades de Stanford y Princeton, entre otras. En 1996 agregó a su leyenda el haber rechazado un premio para jóvenes matemáticos de la Sociedad Europea de la especialidad.
Hasta que empezaron a conocerse sus estudios sobre Poincaré, algunos de sus amigos pensaban que Perelman había abandonado la matemática. Aunque eran tan técnicos y concisos que muy pocos podían leerlos, rápidamente atrajeron el interés de los expertos.

En la primavera de 2003, Perelman volvió a los Estados Unidos para dar una serie de conferencias. Luego, de regreso en San Petersburgo, no respondió a otras invitaciones. Los e-mails cesaron gradualmente. "Vino, explicó cosas y eso fue todo -dijo el doctor Anderson-. Lo demás fue superfluo."

Recientemente se dijo que Perelman renunció al instituto Steklov. Los e-mails enviados a él y al instituto no fueron respondidos.

Por Dennis Overbye
De The New York Times

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